ESPACIOS VECTORIALES COU

  1. En el conjunto R =R x R= {(x,y)/x,yR} se definen las operaciones:
    Suma:( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) R2.
    Producto: t( x1 , y1 ) = ( tx1 ,ty1 ), ( x1 , y1 ) R2 , tR.
    Comprobar que (R2 , + , R) es un espacio vectorial

  2. Concepto de subespacio vectorial.
    Estudiar si el subconjunto de R3 , W = {(x, y, z), y 0}, es un subespacio vectorial de R3.

  3. Estudiar si el conjunto L = {(x, y, z) R3 : x + y = - z} es un subespacio vectorial de R3 .

  4. Demostrar que en R3 los vectores de la forma (x, y, x) forman un subespacio vectorial. Encontrar la base {u1 , u2 } de este subespacio para la cual (5, 3, 5) = 2u1 + 3u2 ; (3, 2, 3) = u1 + 2u2.

  5. ¿Pertenece el vector (2, 1, 3, -7) al subespacio engendrado por (1, 3, 3, 0) y (2, 1, 5, 2)?

  6. Siendo S1 y S2 dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial (V , + , . ) sobre el conjunto de los números reales R, se define S1 + S2 como sigue:
    S1 +S2 =
    1 + S2 , + , .) también es subespacio vectorial de (V , + , .) .

  7. Definir dependencia e independencia lineal de vectores.
    Probar que si los vectores son linealmente independientes, también lo son y1 = , y2 = , y3 =

  8. Si un conjunto de vectores contiene el vector nulo ¿es dependiente o independiente? Razona tu contestación con un ejemplo.

  9. Comprobar que los vectores (1, 1, 0) , (0, 1, 1) y (1, 0, 1) son linealmente independientes.

  10. Determinar los valores de a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de los vectores (1, 2, -1, 2) y (0, 1, 2, 1).

  11. Determinar los valores de "a" para que resulten linealmente dependientes los vectores (-2, a, a) , (a, -2, a) y (a, a, -2). Obtener en esos casos una relación de dependencia entre los vectores.

  12. (a) Calcular los valores del parámetro t para que los vectores de coordenadas (t, 2, 1 -t) , (2 + t , 1 , - t) , (t , 3 , 1 - t) sean linealmente dependientes y, en tal caso, hallar una relación de dependencia lineal.
    (b) ¿Para que valores de t están alineados los puntos de coordenadas (t, 2, 1 - t) , (2 + t , 1 , - t) , (t , 3 , 1 - t) .

  13. Demostrar que si los vectores x1 , x2 , ---- , xn son linealmente independientes,
    también lo son y1 = x1 , y2 = x1 + x2 , -----------, yn = x1 + x2 + ------ + xn

  14. (a) Determinar el valor de l para que los vectores de coordenadas (1,1,l), (0,l,1-l), (1,-2,l) sean linealmente independientes.
    (b) Para el valor de l obtenido, hallar una relación de dependencia lineal entre esos tres vectores.

  15. Definir los siguientes conceptos: Sistema generador, base y dimensión de un espacio vectorial.

  16. Dados los vectores ¿Forman base del espacio vectorial (R3 , +, .) ? ¿Se puede expresar alguno como combinación lineal de los demás?

  17. ¿Forman base de (R3 , +, .) los vectores = (1, -3, 2), = (0, 4, -1), = (2, -14, 6)?

  18. Probar que los vectores u = (-1, 1, 1), v = (1,-1, 1), w = (1, 1, -1) forman una base de R3 . Determinar las coordenadas del vector (2, 4, -2) en dicha base.

  19. Obtener una base del subespacio vectorial de ( R4 , + , . ): S = {(x, y, z, t): 2x + y - z = 0; x - 2y + t = 0}.

  20. Encontrar la dimensión del subespacio engendrado por los vectores a = (1, 1, 0, 2) , b = (0, 1, 1, 1) , c = (1, 2, 1, 3) , d = (-2, -2, 0, -4).

  21. (a) Base y dimensión de un espacio vectorial.
    (b) Obtener según los valores de t, la dimensión del subespacio generado por los vectores (l,1,1,1), (2,-l, 2,0), (3,0,3,l) y una base de este subespacio.

  22. (a) Concepto de Independencia Lineal de una familia de vectores. Base de un espacio vectorial.
    (b) Si los vectores v1 , v2 y v3 constituyen una base de R3 , ¿sucede lo mismo con los vectores v1 - v2 ,
    - v2 + 2v1 , v3 - v1+ v2 ? ¿Y con v1 + v2 - v3, v1-v2 + v3 , 2v1 +3v2 - 3v3 ?

  23. (a) Definir los conceptos de independencia lineal, generadores y base.
    (b) Si tres vectores e1 , e2 , e3 son linealmente independientes, ¿también lo son los vectores e1 + e2 - 2e3 , e1 + 2e2 - e3 , e1 + 3e2 ? , ¿ y los vectores e1 + e2 , e1 - 2e2 ?

  24. Sean e y v dos vectores, de módulo 1 y 2 respectivamente, que forman un ángulo de 60 º. Hallar todas las combinaciones lineales de e y v que sean ortogonales a e y tengan de módulo 3.