ANALISIS COU

  1. Calcular cuanto debe valer a para que la función

    sea continua:

  2. Sea que valor se debe dar al número real a para que la función f(x) sea continua en todo R. Justifiquese.

  3. Sea si f(0) = k . ¿Cuánto debe valer k para que la función f(x) sea continua en x = 0?

  4. Calcular a, b, c para que sea continua la función:

    f(0) para que la función sea continua en el punto x = 0?

  5. Enuncia el teorema de Bolzano y utilízalo para demostrar que la ecuación
    tiene una solución en el intervalo [0, 1].

  6. Definir el concepto de función continua. Enunciar el teorema de Bolzano y utilizarlo para demostrar que la ecuación x3 - 3x + 1 = 0 tiene alguna solución entre 1 y 2.

  7. Cumple la función las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [2, 4]. Averiguar si se anula en algún punto de (2, 4).

  8. Sea ¿Es cierto que la función f se anula en algún punto x comprendido entre 3 y 4? Enunciar el resultado teórico en el que se basa la respuesta.

  9. Sea ¿Es cierto que la derivada de la función f se anula en algún punto x comprendido entre 0 y 1? Enunciar el resultado teórico en el que se basa la respuesta.

  10. Concepto de derivada de una función en un punto. Dar un ejemplo de una función que no sea derivable en el punto 0.

  11. (a) Concepto de función derivable en un punto.
    (b)¿Es derivable en el punto x = 0 la función ? Justificar la respuesta.

  12. (a) Concepto de función derivable en un punto. Derivadas laterales.
    (b)?Es derivable en el punto x = 1 la función ? Justificar la respuesta.

  13. (a) Definir el concepto de función en un punto y explicar su significado geométrico.
    (b)?En qué puntos no es derivable la función ?

  14. Dada la función . Calcular los puntos en que la tangente a su gráfica es paralela al eje OX y aquéllos en que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

  15. Calcular el punto de la curva en que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

  16. Hallar los puntos de la curva en que la recta tangente sea perpendicular a la recta .

  17. (a) Utilizar la definición de derivada de una función en un punto para calcular la derivada en x = 0 de la función (L = Logaritmo Neperiano).
    (b)? Tiene alguna asíntota esta función?

  18. Explica razonadamente, la relación que existe entre que una función sea derivable en un punto y el crecimiento o decrecimiento de esta función en ese pun4o.

  19. Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto.
    Determinar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

  20. Condiciones de máximo y mínimo relativo de una función en un punto.
    Encontrar los máximos o mínimos de la función

  21. Enunciar y demostrar una condición necesaria para que una función f(x) posea un máximo local en un punto "a" en el que sea derivable. ?Es condición suficiente?

  22. Estudiar los máximos y mínimos de la función .

    (a)¿resenta la función algún extremo en el punto x = 0?.
    (b) Enunciar el resultado teórico en que se basa la respuesta.

  23. Se considera la función
    (a) Estudiar si f presenta un máximo o mínimo relativo en el punto x =
    b) ¿tiene alguna asíntota?
    (c)?Cuántas veces, cómo mínimo, se anula la derivada de esta función en el intervalo ?
    Justificar las respuestas. Si éstas se basan en algún resultado teórico, enunciarlo.

  24. (a) Definir el concepto de máximo relativo de una función f(x) en un punto x = a y enunciar su relación con las derivadas sucesivas de f(x) en x = a.
    (b) Determinar si la función tiene un máximo relativo en x = 0.

  25. Enunciado del teorema de Rolle. Dar una explicación gráfica del mismo. (Justifíquese geométricamente).

  26. Enunciar el teorema de Rolle. La ecuación tiene, evidentemente, una solución (x = 0). Demuéstrese que no tiene mas soluciones.

  27. Comprobar que la función cumple las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo y que efectivamente verifica dicho teorema.

  28. Verificar que la función satisface las condiciones del teorema de Rolle en los segmentos [-1, 0] y [0, 1].

  29. (a) Enunciar el teorema de Rolle. (b) Utilizar este teorema para demostrar que la función no se anula en el intervalo , más que en el punto x = 0.

  30. (a) Si la derivada de una función f es mayor que 0 en todo punto, probar que no puede haber dos puntos distintos x, y tales que f (x) = f (y). Teniendo en cuenta esto, demostrar que la función solamente se anula en el punto x = 0.
    (b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función anterior el eje X y las rectas verticales x = -1
    y x = 1.

  31. (a) Enunciar el teorema de Rolle.
    (b) Determinar a, b, c para que la función satisfaga la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

  32. (a) Enunciar y demostrar el Teorema de Rolle.
    (b) Comprobar si la función verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-1,1]

  33. Dadas las funciones . Aplicar el teorema del valor medio generalizado a esta funciones en el intervalo .

  34. Comprobar que las funciones cumplen las condiciones del teorema del valor medio generalizado en el intervalo [0, 6] y determinar el punto ó los puntos del interior del intervalo cuya existencia asegura dicho teorema.

  35. Enunciar el teorema del valor medio del calculo diferencial y analizar si puede aplicarse a la función en el intervalo . En caso negativo decir por qué. En caso afirmativo, calcular el punto en el que se verifica el teorema.

  36. Enunciar el teorema del valor medio (Lagrange). Aplicar este teorema para calcular un valor aproximado de

  37. Enunciar el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Aplicar este teorema para calcular un valor aproximado de

  38. Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de la función f (x) = cos x en un entorno del origen, p4(x), y , posteriormente, comprobar que:

  39. Hallar los desarrollos de McLaurin de orden 4 de las funciones f (x) = sen2x y g(x) = cos3x. A partir de los desarrollos anteriores, calcular

  40. Hallar el valor aproximado de L(1,5) mediante el desarrollo de McLaurin de grado 3 de la función L(1 + x). Acotar el error cometido. ( L indica logaritmo neperiano).

  41. Efectuar el desarrollo de McLaurin de grado 4 de la función y escribir el término complementario correspondiente.

  42. Haz un desarrollo de Taylor con término complementario de cuarto grado, de la función , en un punto adecuado para desarrollar el apartado b).
    b) Hallar un valor aproximado de la raíz cúbica de 9.
    c) Acotar el error cometido.

  43. Calcular el desarrollo de Taylor de orden 2 de la función en un entorno del punto x = 4.

  44. (a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de la función en el punto . (ln indica logaritmo neperiano).
    (b) Calcular

  45. Enunciar las condiciones que deben cumplir dos funciones para poder aplicar la regla de L ' Hopital.

    Calcular, .

  46. Enunciar las condiciones que deben cumplir dos funciones para poder aplicar la regla de L ' Hopital.

    Calcular,
    (Hacerlo también descomponiendolo en factores).

  47. Hallar

  48. Calcular

  49. (a) Enunciar el teorema de L ' Hopital.

    (b) Calcular .

  50. Calcular (L = logaritmo neperiano).

  51. (a) Enunciar el teorema de L'Hopital.

    (b) Calcular , .

  52. (a) Enunciar el teorema de L' Hopital.

    (b) Calcular (L = Logaritmo Neperiano).

  53. Estudiar: máximos y mínimos, concavidad, convexidad y asíntotas de la función .

  54. Sea y = f(x) una función derivable en un punto x0 . Escriba la ecuación de su recta tangente en el punto x0 . Si hallése la ecuación de la tangente en un punto de inflexión de la curva.

  55. Dibujar la curva .

  56. (a) Demostrar que la función es estrictamente creciente.
    (b) Hallar el área limitada por la gráfica de la función f, el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = 2.

  57. Calcular la altura del cono inscrito en una esfera de 4 cm de diámetro que tiene volumen máximo.

  58. Representar gráficamente la función en el intervalo .