GEOMETRIA COU

  1. Sean los puntos A (x1 , y1 , z1 ) y B (x2 , y2 , z2) referidos a un sistema ortonormal
    . Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB

  2. Hallar las distintas formas de la ecuación de la recta determinada por los puntos A (1, -2, 3) y B (-3, 1, 4).

  3. a) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos del espacio.
    b) ¿Existe alguna recta que pase por los tres puntos (1, 2, 3) , (2, 4, 1) y (1, 1, 1)

  4. Obtener razonadamente las ecuaciones paramédicas de la recta en el espacio.

  5. Dados los puntos A (3, -4, 1), B (5, 1, 3) y C (4, -3, 0), determinar si el punto C pertenece o no a la recta AB.

  6. Hallar las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1) y B(3, -2, 4) y que es paralela a la recta

  7. Determinar si existe alguna recta que pase por el origen de coordenadas y corte a las rectas

  8. Obtener las coordenadas del punto simétrico del A (1, -3, 7) respecto de la recta

  9. Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P (1, -1, 2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos A (1, 0, 1), B (3, 2, 1) y C (2, -1, 0) .

  10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y contiene a la recta

  11. Hallar las ecuaciones de todos los planos que pasan por los puntos: (1, 0, 0), (2, 0, 0).

  12. Obtener la ecuación de la única recta que corta perpendicularmente a las rectas

    ;

  13. Escribir la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas:
    r: x = y = z y s: x + 1 = y + 1 = 3z

  14. Son coplanarias r y s , donde
    Hallar el plano que las contiene.

  15. Determinar las coordenadas del punto simétrico del (-3, 1, -7) respecto de la recta

    .

  16. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x + y + 2z + 1 = 0 y que contiene a la recta de ecuación

  17. Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y contiene a la recta
    .

  18. Hallar la ecuación de la recta paralela al plano determinado por los puntos (0, 0, 0) , (1, 4, 1) y (-1, -1, 1), que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta a la recta

  19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y corta perpendicularmente a la recta

  20. Hallar la ecuación continua de la recta que es paralela a los planos x - 3y + z = 0; 2x - y + 3z = 0 y pasa por el punto (2, -1, 5).

  21. Hallar la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos 2x + y - z = 0, x - y + z + 3 = 0 y pasa por el punto (3, 2, 1).

  22. Encontrar la recta paralela al plano 2x - y + z = 0 que pasa por el punto (1,1,1) y corta al eje Z

  23. (a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A = (0,8,1) y es perpendicular al plano p : x - y + z = 2.
    (b) Hallar el área del triángulo ABC, siendo B = (2,-1,3) y C la intersección de r y p.

  24. Determina si existe algún plano que contenga las dos rectas y

    y en caso afirmativo obtener una de sus ecuaciones.

  25. Determinar el plano que pasa por la recta de ecuaciones

    y es paralelo a la recta de ecuación:

  26. a) Determinar el plano que contiene a la recta
    y pasa por el origen de coordenadas.
    b) Calcular la distancia entre ese plano y el paralelo a él que pasa por el punto (3,1,1)

  27. (a) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,-1,-3) y es paralelo al plano p que determina los puntos (1,1,1), (2,-2,1), (1,1,2).
    (b) Calcular la distancia entre estos dos planos paralelos.

  28. Paralelismo de rectas en el espacio . Dada la recta 2x = 1 - y = -z , encontrar una paralela a ella.

  29. Dadas las rectas de ecuaciones
    determinar los valores de k para que las rectas r y s estén en un mismo plano y buscar una ecuación de este plano.

  30. a) Posiciones relativas de una recta y un plano.
    b) ¿Cual es la posición de la recta de ecuación respecto al plano x - y - z - 2 = 0?

  31. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio afín tridimensional.

  32. Dadas las rectas
    a) ¿Son paralelas?
    b) Si la respuesta es si, determinar el plano que las contiene.

  33. Dadas las rectas ; y
    Estudiar su posición y, si fuese posible, calcular la ecuación del plano que las contiene.

  34. Estudiar la posición relativa de las rectas y

    ¿Existe alguna recta que corte perpendicularmente a las anteriores? En caso afirmativo hallar una de sus ecuaciones paramétricas

  35. Explíquese como se puede calcular la distancia de un punto a una recta. Hállese la distancia del punto A(1, -1, 0) a la recta

  36. Sean A,B,C, los puntos de corte del plano x + 5y - z = 5 con los ejes de coordenadas. Calcular el volumen de la pirámide que tiene por base el triángulo ABC y por vértice el punto (3,-1,1).
    [Volumen de la Pirámide = 1/3 (área de la Base x Altura)].

  37. Considerar la recta r que pasa por el punto P(1,1,-1) y tiene como vector director v = (1,2,-2);
    (a) Calcular la distancia de esta recta al origen. (b) Obtener la ecuación de la recta proyección de r sobre el plano z = 0.

  38. Explique como se puede calcular la distancia entre dos rectas.

    Hállese la distancia entre las recta: y

  39. Angulo de dos rectas . Calcular el ángulo que forman las rectas

    y

  40. Angulo de recta y plano. Calcular el ángulo que forman la recta

    y el plano

  41. Explique como se puede calcular la distancia de un punto a un plano.
    Hállese la distancia del punto A(1, 0, -1) al plano

  42. Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano .

  43. Explicar la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano. Hallar el ángulo que forma la recta y el plano .

  44. Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos
    A (1, 1, 1) , B (0, 1, 0) y C (3, 2, 1).

  45. Hallar la distancia del punto P = (3, 1, 1) a la recta: .

  46. Dado el plano y el punto A (1, 0, 2), sea B el pie de la perpendicular de A a p y C (1, 1, -1) un punto del plano. Se pide el área del triángulo ABC.

  47. Calcular el área de triángulo cuyos vértices son : A(1,2,3), B(3, 2, 1) y C(-1, 2, 1).

  48. (a) Definir el producto vectorial de dos vectores y justificar razonadamente su expresión analítica (es decir , su expresión en coordenadas).
    (b) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano

  49. (a) Determinar el plano que pasa por los puntos de coordenadas (0, 0, 3) , (2, 0, -3) , (2, -2, 0).
    (b) Calcular el área del triángulo que forman los puntos en que el plano corta a los tres ejes de coordenadas.

  50. (a) Probar que, cualquiera que sea el valor de t , los puntos de coordenadas (1,1,t), (0,t,1 - t), (1,-2,t) nunca están alineados.
    (b) Obtener en función de t , el área del triángulo que determinan estos tres puntos.