GEOMETRIA LOGSE

  1. [2,5 PUNTOS]. Desde el origen de coordenadas pueden trazarse dos rectas tangentes a la circunferencia que tiene su centro en el punto (3, 0) y cuyo radio vale . ¿Cuales son las ecuaciones de dichas rectas tangentes?

  2. Una circunferencia tiene por centro el punto C = (1 , 0) y su diámetro es 2. Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto de abcisa x = 3/2 y ordenada positiva.

  3. [2,5 PUNTOS]. Se tiene un paralelogramo uno de cuyos vértices es el punto (3 , 2) y dos de cuyos lados se encuentran contenidos, respectivamente, en las rectas r y s de ecuaciones
    Halla las ecuaciones de las rectas sobre las que se encuentran los otros dos lados.

  4. [2,5 Puntos] Halla el punto Q simétrico del punto P = (2, 0, 1) respecto de la recta r que pasa por el punto A = (0, 2, 3) y es paralela a la recta s de ecuaciones

  5. Considera las recta r y s dadas por:

    (1) Encuentra el valor de a para que las rectas r y s son perependiculares. Para dicho valor, halla la ecuación de un plano que contenga a s y sea paralelo a r.
    (2) Determina un valor positivo del parámetro a para el que la3 rectas r y s son coplanarias y halla la ecuación de la recta que es perpendicular a ambas y pasa por el punto P = (1, -2,3).

  6. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P = (1 , 0 , 2), es paralelo a la recta y es perpendicular al plano (1997)

  7. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1 , 1 , 2) y es paralelo a las rectas r y s dadas por

  8. Sean r y s las rectas dadas por

    Determina la ecuación de un plano que contenga a r y sea paralelo a s.

  9. (1) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2 , 1 , 1) sobre el plano .
    (2) Halla un punto A que está; sobre el eje OX y tal que el área del triángulo ABC valga 6. ¿Cuántas soluciones existen?

  10. (1) Determina la ecuación del plano que contiene el punto P = (2 , 0 , 1) y a la recta de ecuaciones

    (2) Calcula elángulo que forman el plano calculado en el apartado anterior y la recta de ecuaciones .

  11. Sea el plano y sea la recta r dada en forma paramétrica por:
    .
    (1) [0,5 Puntos] ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano?
    (2) [0,75 Puntos]. En el caso concreto de la recta r y el plano , ¿cómo averiguarías si son paralelos? Compru%ba si lo son.
    (3) [0,5 Puntos]. ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano? (4) [0,75 Puntos]. En el caso concreto de la recta r y el plano ¿cómo averiguarías si son perpendiculares? Comprueba si lo son.

  12. (1) Para los diferentes valores del parámetro real a estudia la posición relativa de los planos dados por


    (2) Si a = -1, ¿en qué punto se cortan?

  13. Calcula de manera razonada, un plano que sea paralelo al plano de ecuación x + y + z = 1 y determine con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea .

  14. Sean y los planos de ecuaciones: y
    Explica algún procedimiento para saber si un punto de se encuentra entre y y aplícalo para saber si el punto P = (2, 2, 1) se encuentra o no entre dichos planos

  15. Considera el punto P = (-1, 2, 1).
    (1) [1 Punto]. Determina un punto Q del plano de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano .
    (2) [1 Punto]. Determina un punto M de la recta de forma que el vector MP sea paralelo al plano .
    (3) [0,5 Puntos]. Calcula el área del triángulo MPQ.

  16. (1) Halla el punto simétrico de P = (1, 2, 3) respecto del plano z = 4.

    (2) Halla el punto simétrico de P = (1, 2, 3) repecto de la recta r dada por
    (3) Halla el punto simétrico de P = (1, 2, 3) respecto del punto Q = (1, 2, 4).

  17. Calcula razonadamente y dibuja el lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican la siguiente propiedad: "El triángulo APB de vértices A = (- 7 , 0),P y B = (7 ,0) es rectángulo en P"

  18. Considera los puntos P = (1 , 1 , 1) y Q = (-1 , -1 , 2).
    (1) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual distancia del punto P que del Q .
    (2) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente y en su punto medio al segmento que une los puntos P y Q.

  19. Considera el tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos en los que el plano corta a los ejes coordenados.
    (1) Describe un procedimiento para hallar el volumen de tetraedro y calcula efectivamente su valor.
    (2) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de coordenadas respecto al plano .

  20. Cuatro puntos A, B , C y D tienen las siguientes coordenada:
    A = (1, 2, 3), B = (0, 1, -2) C = (3, 1, 0) y D = (mm, -1, 4).
    (1) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre una misma línea recta? En caso afirmativo, determina dicha recta; en caso negativo, di porque no están alineados.
    (2) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre un plano? En caso afirmativo, determina dicho plano; en caso negativo, di por qué no son coplanarios.
    (3) Para m = 2, ¿determinan estos cuatro puntos un tetraedro? En caso afirmativo, calcula el volumen de dicho tetraedro, en caso negativo, di por qué no lo determinan.

  21. Considera el tetraedro de vértices A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) y D = (0, 0, 0).
    (1) Halla la recta r que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C.
    (2) Halla la mínima distancia entre la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B.
    (3) Calcula el volumen del teraedro.

  22. [2'5 puntos]. Prueba que todos los planos de la familia

    (con ) contienen una misma recta y halla unas ecuaciones paramétricas de dicha recta.

  23. (1) [1'75 puntos]. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(3,2) y una de cuyas rectas tangentes tiene de ecuación .
    (2) [0'75 puntos]. Determina si el punto X=(3,3) es interior, es exterior o está en la circunferencia.

  24. [2'5 puntos]. Halla el punto del plano de ecuación que está más cerca del punto P=(3,1,4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado.

  25. (1) [2 puntos]. Calcula un punto R de la recta s dada por

    que equidiste de los puntos P=(1,0,-1) y Q=(2,1,1).
    (2) [0'5 puntos]. Calcula el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R.

  26. a) (1 punto) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto A(4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1.
    b) (1 punto) Comprobar que el anterior lugar geométrico es una cónica. Indicar el tipo de cónica que es y hallar sus focos.

  27. a) (1 punto) Encontrar la distancia del punto P(1, - 1, 3) a la recta que pasa por los puntos Q(1, 2, 1) y R(1, 0, - 1).
    b) (1 punto) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P, Q y R.
    c) (1 punto) Encontrar todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R de manera que el cuadrilátero de vértices P, Q, R y S sea un paralelogramo.

  28. Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH sabiendo que A=(8, 0, 0), B=(0, 8, 0), C=(0, 0, 8) y E=(8, 8, 8). Obtén las coordenadas de los restantes vértices